雷達(dá)向天空發(fā)射電磁波，如何利用觀測(cè)的信號(hào)來確定飛行器的特征？怎樣利用地面上收集到的波場(chǎng)信息勘探地下是否存在石油、天然氣等能源？這些既上天又入地的科學(xué)問題背后，都離不開數(shù)學(xué)理論與科學(xué)計(jì)算的強(qiáng)大支撐。
波動(dòng)方程反問題是通過系統(tǒng)外部觀測(cè)的波場(chǎng)來確定介質(zhì)內(nèi)部結(jié)構(gòu)與特征的研究，被學(xué)界譽(yù)為“數(shù)學(xué)具有鮮活生命力的最重要體現(xiàn)之一”。自上世紀(jì)中葉以來，反問題的研究持續(xù)穩(wěn)步推進(jìn)，而現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展也為其帶來新的機(jī)遇與挑戰(zhàn)。但是，波動(dòng)方程反問題作為一類極具重要性和應(yīng)用價(jià)值的科學(xué)問題，在數(shù)學(xué)理論和計(jì)算方法方面一直存在著巨大的困難，主要表現(xiàn)在非線性性、不適定性、算法的復(fù)雜性及模型的不確定性。如何克服這些難題，實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)反演，減小探測(cè)誤差的影響，近幾十年來始終是國際學(xué)術(shù)前沿。
科技自立自強(qiáng)與自主創(chuàng)新一脈相承，習(xí)近平總書記指出“科研選題是科技工作首先需要解決的問題。”浙江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院求是講席教授包剛經(jīng)過多年科研攻關(guān)，克服波動(dòng)方程反問題的非線性性、不適定性及模型的不確定性等難題，取得了一系列重要成果，獲得了速度場(chǎng)含焦散線的波動(dòng)方程反介質(zhì)問題的穩(wěn)定性，建立了多頻、隨機(jī)反源問題的適定性理論及計(jì)算框架，發(fā)展了超分辨率成像反界面問題的理論分析與計(jì)算方法，成功突破國際學(xué)術(shù)前沿理論難題，解開相關(guān)探測(cè)技術(shù)中的數(shù)學(xué)奧秘。
在日前召開的國家科學(xué)技術(shù)獎(jiǎng)勵(lì)大會(huì)上，這項(xiàng)成果獲得2020年度國家自然科學(xué)獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)。
摘掉“強(qiáng)假設(shè)”，拓寬穩(wěn)定性
通過邊界上的波場(chǎng)信息來確定介質(zhì)的性質(zhì)，是波動(dòng)方程反問題在地質(zhì)勘探、無損檢測(cè)等實(shí)際問題中的重要應(yīng)用。然而，由于波動(dòng)方程反問題的非線性性和不穩(wěn)定性特征，實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)勘探極其困難。
“測(cè)量數(shù)據(jù)的誤差會(huì)導(dǎo)致反演的不準(zhǔn)確，如何保證小的測(cè)量誤差僅帶來反演結(jié)果的小擾動(dòng)，這就是穩(wěn)定性研究?！卑鼊傉f。
針對(duì)穩(wěn)定性這一極具挑戰(zhàn)性的波動(dòng)方程反問題核心難題，多位國際反問題權(quán)威學(xué)者近三十年來利用幾何光學(xué)的漸近分析方法得到了一系列結(jié)果，但這些方法都需要一個(gè)非常強(qiáng)的理論假設(shè)，即速度場(chǎng)本身不含焦散線。包剛與其博士生張海引入高斯束取代幾何光學(xué)近似，提出了全新的處理方法。通過將高斯束方法與微局部分析相結(jié)合，精細(xì)地刻畫奇性傳播，依靠測(cè)量邊界上的散射關(guān)系來克服該反問題的不穩(wěn)定性，首次突破了介質(zhì)不含焦散線的理論假設(shè)限制，該項(xiàng)成果發(fā)表在國際數(shù)學(xué)頂尖期刊——美國數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)會(huì)刊（JAMS）上。
克服“不適定”，掌控隨機(jī)性
通過觀測(cè)的散射場(chǎng)信息來確定未知源函數(shù)被稱為波動(dòng)方程的反源問題。這類問題在醫(yī)學(xué)成像、微地震研究中有廣泛的應(yīng)用前景。建立可計(jì)算反演模型及發(fā)展解的唯一性、穩(wěn)定性理論，是反源問題研究的核心。
反源問題研究的本質(zhì)困難在于單頻數(shù)據(jù)反演無唯一性及穩(wěn)定性。單頻數(shù)據(jù)不行，包剛就開始在多頻數(shù)據(jù)上下功夫。針對(duì)波動(dòng)方程的反源問題，通過引入多頻觀測(cè)數(shù)據(jù)，再根據(jù)解的唯一性延拓原理，建立了反源問題的唯一性理論，成功克服了單頻數(shù)據(jù)下反源問題不適定的困難。
反源問題研究的另一個(gè)挑戰(zhàn)就是在實(shí)際應(yīng)用中，波源還普遍存在著隨機(jī)性，已有的用于求解確定性反源問題的理論和算法都不再適用，亟待發(fā)展新的數(shù)學(xué)理論與計(jì)算方法來研究隨機(jī)反源問題。為了加大計(jì)算的準(zhǔn)確度和可信度，包剛與其合作者提出了布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)源波動(dòng)方程模型，基于該模型，給出了隨機(jī)源期望和方差函數(shù)的允許空間，建立了模型問題解的正則性理論，提出并實(shí)現(xiàn)了確定未知隨機(jī)源函數(shù)的高效穩(wěn)定算法，“隨機(jī)”不再不可掌控。
巧用倏逝波，突破衍射極限
為什么一些特別微小的東西我們用肉眼看不見？這就是光學(xué)成像的衍射極限。該極限已經(jīng)成為制約顯微鏡、望遠(yuǎn)鏡、照相機(jī)等光學(xué)器件發(fā)展的主要瓶頸之一。近場(chǎng)成像技術(shù)是突破衍射極限、達(dá)到超分辨率的有效途徑，但是，其數(shù)學(xué)理論亟待發(fā)展。
如何利用刻畫光傳播的波動(dòng)方程反界面問題，建立近場(chǎng)數(shù)據(jù)和被測(cè)目標(biāo)之間的內(nèi)在聯(lián)系，是實(shí)現(xiàn)超分辨率成像的關(guān)鍵問題。
包剛的辦法是利用倏逝波的信息。“以往相關(guān)領(lǐng)域內(nèi)有學(xué)者提出了一個(gè)線性化模型來開展研究，但無法準(zhǔn)確處理原非線性模型。”包剛和合作者分別針對(duì)界面局部擾動(dòng)和粗糙界面的近場(chǎng)分辨率成像問題，從界面上方近場(chǎng)的觀測(cè)數(shù)據(jù)來確定界面的結(jié)構(gòu)信息。
界面表面?zhèn)鞑サ馁渴挪ㄓ捎谄浞ㄏ虻闹笖?shù)衰減性質(zhì)，往往難以控制。通過對(duì)倏逝波的細(xì)致刻畫，包剛揭示了波場(chǎng)譜信息與界面的微觀結(jié)構(gòu)之間的非線性關(guān)系。關(guān)于粗糙界面反散射，發(fā)展了基于快速傅里葉變換的穩(wěn)定高效反演算法。構(gòu)造了基于多頻數(shù)據(jù)的新型逐次線性化算法，實(shí)現(xiàn)了多尺度界面的超分辨率成像，所取得的原創(chuàng)性成果為研發(fā)新一代成像設(shè)備提供了理論基礎(chǔ)。
反問題不止用于細(xì)微之中，也用于“大物”之上。
“隱形飛機(jī)”的設(shè)計(jì)目的就是讓人探測(cè)不到，如何才能讓它現(xiàn)形？相對(duì)于電磁波的波長(zhǎng)來說，飛機(jī)引擎進(jìn)氣口、開放導(dǎo)管等關(guān)鍵部位的大腔體，可以算是實(shí)打?qū)嵉摹按笮臀矬w”。然而，探測(cè)大腔體不論從理論還是技術(shù)上，都不是一件容易的事。通過對(duì)目標(biāo)物體進(jìn)行坐標(biāo)變換，大腔體散射問題就轉(zhuǎn)化為大波數(shù)問題，其解具有高震蕩性在計(jì)算上是公認(rèn)的難題。
包剛與合作者引入新型非局部透射邊界條件，將無界散射問題轉(zhuǎn)化為有界腔體問題，證明了其解的存在唯一性，首次獲得了解顯式依賴于波數(shù)的穩(wěn)定性估計(jì)，建立了大波數(shù)問題的穩(wěn)定性理論，為數(shù)值求解大腔體散射問題的收斂性分析奠定了理論基礎(chǔ)。
包剛的科研方向長(zhǎng)期瞄準(zhǔn)關(guān)鍵核心領(lǐng)域。堅(jiān)持“面向世界科技前沿”，包剛的相關(guān)原創(chuàng)性研究成果通過論文已在國際頂級(jí)期刊和相關(guān)領(lǐng)域?qū)W術(shù)期刊上發(fā)表150余篇，得到美國科學(xué)院院士、美國工程院院士、美國藝術(shù)與科學(xué)院院士、歐洲科學(xué)院院士等眾多學(xué)者的廣泛引用。期間，他也主持了國家基金委創(chuàng)新研究群體、重大研究計(jì)劃重點(diǎn)項(xiàng)目、重大研究計(jì)劃集成項(xiàng)目等多個(gè)研究課題。
優(yōu)秀科研成果的誕生也得益于包剛深厚的家國情懷。2010年，在美國密西根州立大學(xué)已獲終身正教授十余年的包剛，在自己科研工作最活躍的時(shí)候，選擇回國全身心投入浙江大學(xué)數(shù)學(xué)人才培養(yǎng)與學(xué)科建設(shè)。師者，傳道授業(yè)解惑也。十年來，包剛始終堅(jiān)持在導(dǎo)學(xué)、教學(xué)第一線，堅(jiān)持以人為本的教學(xué)理念，教書育人。包剛經(jīng)常對(duì)學(xué)生說“歸屬感很重要，做科學(xué)研究既要找準(zhǔn)源動(dòng)力，知道為誰服務(wù)，也要潛心積累，坐得住科學(xué)問題的冷板凳。”，他用切身經(jīng)歷和實(shí)際行動(dòng)為學(xué)生做出了榜樣。
數(shù)十年來，包剛勤奮求實(shí)，科研攻關(guān)銳意進(jìn)取，得到了國際數(shù)學(xué)界的廣泛贊譽(yù)。2016年，包剛因其對(duì)波現(xiàn)象的反問題和應(yīng)用于光學(xué)的電磁學(xué)顯著而持久的貢獻(xiàn)當(dāng)選為美國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)會(huì)會(huì)士（SIAM Fellow）。2020年，包剛又當(dāng)選美國數(shù)學(xué)會(huì)會(huì)士（AMS Fellow），及首屆中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)會(huì)會(huì)士（CSIAM Fellow）。潛心立德樹人，中興浙大數(shù)學(xué)，“中流擊水，奮楫者進(jìn)”，包剛在科學(xué)研究的道路上砥礪前行。
（文字、攝影 樊暢）
